在相機(jī)鏡頭、顯微鏡甚至手機(jī)攝像頭中，非球面鏡片（Aspherical Lens）因其優(yōu)異的像差校正能力被廣泛應(yīng)用，而賦予非球面鏡片這種能力的核心“密碼”，正是非球面系數(shù)。這些看似抽象的數(shù)字，實(shí)則決定了鏡片表面每一處曲率的微小變化。

一、什么是非球面系數(shù)？  

我們都知道，傳統(tǒng)球面透鏡表面是一個(gè)均勻彎曲的球面，但光線通過(guò)時(shí)會(huì)產(chǎn)生球差、彗差等像差問(wèn)題，導(dǎo)致成像模糊或變形。非球面透鏡的曲面尤其非球面的曲率設(shè)計(jì)，使得它能夠很好優(yōu)化球差、彗差等像差問(wèn)題，曲率隨位置變化，能更精準(zhǔn)地控制光線路徑。  

為了系統(tǒng)性描述非球面這種復(fù)雜曲面，科學(xué)家在基礎(chǔ)球面形狀上疊加一系列高階修正項(xiàng)，這些修正項(xiàng)的系數(shù)就是“非球面系數(shù)”，而非球面系數(shù)則通過(guò)不同階數(shù)的組合實(shí)現(xiàn)微調(diào)鏡片表面，實(shí)現(xiàn)消除像差，提升成像質(zhì)量。

二、非球面系數(shù)的分階方式  

非球面系數(shù)按多項(xiàng)式階數(shù)分類，常見(jiàn)的分階方式如下：

偶次非球面多項(xiàng)式（Even Asphere）

最常用的表達(dá)式為：

基曲部分：第一項(xiàng)為球面基礎(chǔ)形狀，R為基曲半徑，K 為圓錐常數(shù)（描述拋物面、雙曲面等類型）

非球面修正項(xiàng)：${}_{}$${\alpha }_{2n}$為非球面系數(shù)，對(duì)應(yīng) $r^{2n}$r2n 的階數(shù)（如 2階、4階、6階等）。



低階項(xiàng)（如 ${\alpha }_2{r}^2$）：校正低階像差（如離焦）。

高階項(xiàng)（如 ${\alpha }_4{r}^4,{\alpha }_6{r}^6$）：校正球差、場(chǎng)曲等復(fù)雜像差。

更高階項(xiàng)（如 $r^8,r^{10}$）：用于精密系統(tǒng)的精細(xì)調(diào)整，但加工難度顯著增加。

Zernike多項(xiàng)式

另一種分階方式基于Zernike多項(xiàng)式，其各項(xiàng)對(duì)應(yīng)不同的像差模式（如第4階為離焦，第5-6階為像散等）。但非球面系數(shù)通常更直接關(guān)聯(lián)偶次多項(xiàng)式模型。

（圖源知乎飯后時(shí)光）

三、分階的意義：從普通眼鏡到太空望遠(yuǎn)鏡  

非球面系數(shù)的分階直接決定了鏡片的性能上限：  

1. 低階修正（4~6階）

應(yīng)用場(chǎng)景：普通相機(jī)鏡頭、眼鏡片。  

特點(diǎn)：成本低，可大幅減少球差和場(chǎng)曲，滿足日常需求。  

2. 中高階修正（8~12階）

應(yīng)用場(chǎng)景：高端顯微物鏡、天文望遠(yuǎn)鏡。  

特點(diǎn)：通過(guò)密集的高階項(xiàng)組合，幾乎消除所有單色像差，但需依賴超精密加工技術(shù)（如金剛石車削）。  

3. 極限高階（14階以上）

應(yīng)用場(chǎng)景：極紫外光刻機(jī)、太空光學(xué)系統(tǒng)。  

特點(diǎn)：追求納米級(jí)精度，但代價(jià)高昂，一片鏡片的加工可能需要數(shù)月。

四、設(shè)計(jì)與制造的博弈  

非球面系數(shù)并非越多越好，分階背后是光學(xué)工程師的權(quán)衡藝術(shù)：  

自由度 vs 成本：高階系數(shù)增加設(shè)計(jì)靈活性，但每增加一階，加工誤差風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)級(jí)上升。  

像差校正 vs 系統(tǒng)穩(wěn)定性：過(guò)度依賴高階修正可能導(dǎo)致系統(tǒng)對(duì)溫度、裝配誤差極度敏感。  

以手機(jī)鏡頭為例，通常采用4~8階非球面系數(shù)，在性能、體積和成本間找到平衡；而哈勃太空望遠(yuǎn)鏡的鏡片則動(dòng)用超過(guò)10階系數(shù)，確保在極端環(huán)境下的成像清晰度。

非球面系數(shù)看似是枯燥的數(shù)字，實(shí)則是現(xiàn)代光學(xué)的“基因代碼”。從4階到16階，每一次分階的突破都推動(dòng)著成像技術(shù)的革新——無(wú)論是讓手機(jī)攝像頭更輕薄，還是讓人類看清百億光年外的星系。未來(lái)，隨著加工技術(shù)的進(jìn)步（如3D打印光學(xué)元件），更高階的非球面系數(shù)或?qū)⒔怄i更多顛覆性應(yīng)用，繼續(xù)改寫(xiě)光學(xué)的極限。

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